Elipse: Parte Matemática



Elipse parte matemática y geometrica

En esta parte veremos como resolver ecuaciones, hallar elementos y graficar una elipse.

Para poder graficar una elipse debemos utilizar la parte matemática  igual para conocer sus elementos y entenderla lo mejor posible, en la primera parte del blog hablamos sobre los elementos que posee una elipse, en esta parte vamos a ver como se resuelven ecuaciones de una elipse. 

Aquí algunos vídeos para tener conceptos básicos.




Ahora a graficar

Para demostrar como sacar los elementos de una elipse mediante una ecuación utilizamos un ejemplo.

Analizar la siguiente ecuación:  25x^{2}+4y^{2}-250x-16y+541=0
25x^{2}-250x+4y^{2}-16y=-541
Factorizamos y complementamos al cuadrado.
25(x^{2}-10x)+4(y^{2}-4y)=-541
25(x-5)^{2}+4(y-2)^{2}=-541+625+16
25(x-5)^{2}+4(y-2)^{2} = 100 \:\: // \:* \frac{1}{100}
\frac{25(x-5)^{2}}{100}+ \frac{4(y-2)^{2}}{100} = 1

Ahora mediante la ecuación de la elipse obtenemos los elementos.

Obtenemos los datos de la elipse
a=\sqrt{25}=5
b=\sqrt{4}=2
c=\sqrt{25^{2}-4^{2}}=\sqrt{609}
c(5,2)
v_{1}(5,7) \:\:v_{2}(5,-3)
sv_{1}(3,2) \:\:v_{2}(7,2)
f_{1}(5,6.58) \:\: f_{2}(5,-2.58)
\varepsilon =\frac{\sqrt{609}}{5}=4.935
Eje Mayor: 10 \:\: Eje Menor: 4

Procedemos a graficar




Ejemplo 2 


16x^2+9y^2+64x-18y=71  (Primero agrupamos terminos)
16x^2+64x+9y^2-18y=71  (luego complementamos al cuadrado)
16(x^2+4x)+9(y^2-2y)=71 (luego sacamos factor comun)
16(x^2+4x+4-4)+9(y^2-2y+1-1)=71 (complementar al cuadrado) 
16[(x+2)^2-4]+9[(y-1)^2-1]=71 (factorizar) 
16(x+2)^2-64+9(y-1)^2-9=71 (operar) 
16(x+2)^2+9(y-1)^2-73=71 
16(x+2)^2+9(y-1)^2=71+73 
16(x+2)^2+9(y-1)^2=144 
16(x+2)^2+9(y-1)^2=144 (Llevar la ecuacion a la forma general) 
(x+2)/9^2/+(y-1)^2/16=1 (Llevar la ecuacion a la forma general) 
Con esta fomra ya sabemos hacia donde abre la elipse. Su eje mayor es el eje "Y"
Sabemos q su centro esta en (-2,1)

Conocemos a^2=16, por lo tanto a=4 
Conocemos b^2=9, por lo tanto b=3
Conociendo a y conociendo b podemos encontrar c (esto servira para allar los focos)
Conociendo a y conociendo b podemos encontrar c (esto servira para allar los focos)

c^2=a^2-b^2

c= \sqrt {a^2-b^2}
c= \sqrt {16-9}
c= \sqrt {7}
c= Ya teniendo c podemos concluir que:
Vertices = (-2,1\pm 4)

Focos = (-2,1\pm \sqrt{7})

Excentricidad = \sqrt7/4
Y con esta ecuacion se tiene los datos necesarios para graficar esta elipse.


No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Entradas (Atom)